[이산수학] 합성 함수, 항등 함수, 상수 함수

합성 함수

합성 함수 (composition function)
두 함수 $f: A → B, g: B → C$에 대하여 두 함수 $f$와 $g$의 합성 함수는 집합 $A$에서 집합 $C$로의 함수 $g \circ f: A → C$를 의미함.

 

합성함수의 성질

1. 합성 함수의 결합 법칙은 성립하지만, 교환 법칙은 성립하지 않음

ex) $f(x) = 3x, g(x) = 2x + 3$일 때, $(f \circ g)(x) = 6x + 3, (g \circ f)(x) = 6x + 9$

$⇒ (f \circ g)(x) ≠ (g \circ f)(x)$

 

2. $f$와 $g$가 단사 함수이면 $g \circ f$도 단사 함수

$f$는 단사 함수이므로 $a_1, a_2 \in A$이고 $a_1 ≠ a_2$일 때, $f(a_1), f(a_2) \in B$이고 $f(a_1) ≠ f(a_2)$임. $g$도 단사 함수이므로 $f(a_1), f(a_2) \in B$이고 $g(f(a_1)) ≠ g(f(a_2))$

$⇒$ $f$와 $g$가 단사 함수이면 $g \circ f$도 단사 함수

 

3. $f$와 $g$가 전사 함수이면 $g \circ f$도 전사 함수

$f$는 전사 함수이므로 모든 원소 $b \in B$에 대하여 $f(a) = b$를 만족하는 어떤 $a \in A$가 존재함. $g$도 전사 함수이므로 모든 원소 $c \in C$에 대하여 $g(b) = c$를 만족하는 어떤 $b \in B$가 존재함

$⇒$ $f$와 $g$가 전사 함수이면 $g \circ f$도 전사 함수

 

4. $f$와 $g$가 전단사 함수이면 $g \circ f$도 전단사 함수

2번과 3번에 의해 단사 함수와 전사 함수도 만족하므로 $g \circ f$도 전단사 함수

 

5. $g \circ f$가 단사 함수이면 $f$도 단사 함수

$g(f(a_1)) ≠ g(f(a_2))$일 때, 모든 $a_1, a_2 \in A$에 대하여 $g(f(a_1)) ≠ g(f(a_2))$이면, $a_1 ≠ a_2$임. $g \circ f$가 단사 함수가 되려면 $f(a_1) ≠ f(a_2)$여야 함. 따라서 $f(a_1) ≠ f(a_2)$일 때, $a_1 ≠ a_2$임

$⇒$ $g \circ f$가 단사 함수이면 $f$도 단사 함수

 

6. $g \circ f$가 전사 함수이면 $g$도 전사 함수

모든 $c \in C$에 대하여 $g(f(a)) = c$를 만족하는 $a \in A$가 적어도 하나 존재함. 이 때 $f(a) = b$이고 $b \in B$이므로 $g(b) = c$임. 즉 모든 $c \in C$에 대하여 $g(b) = c$를 만족하는 $b \in B$가 존재함.

$⇒$ $g \circ f$가 전사 함수이면 $g$도 전사 함수

 

7. $g \circ f$가 전단사 함수이면 $f$는 단사 함수이고, $g$는 전사 함수

5번과 6번에 의해 $g \circ f$가 단사 함수와 전사 함수도 만족하므로 $f$는 단사 함수, $g$는 전사 함수

 

항등 함수

항등 함수 (identity function)
집합 $A$에 대한 함수 $f$가 $f: A → A, f(a) = a$일 때 함수 $f$를 항등 함수라 하고, $I_A$로 표기함.

$$ \forall a \in A, I_A(a) = a $$

 

상수 함수

상수 함수 (constant function)
함수 $f: A → B$에서 집합 $A$의 모든 원소가 집합 $B$의 오직 한 원소와 대응할 때 함수 $f$를 상수 함수라고 함.