[이산수학] 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수

단사 함수

단사 함수 (injective function), 일대일 함수 (one-to-one function)
함수 $f: A → B$에서 $a_i, a_j \in A$에 대하여 $f(a_i) = f(a_j)$이면 $a_i = a_j$일 경우, 함수 $f$를 단사 함수라고 함. 일대일 함수라고도 부름.

 

단사 함수인지 증명하기

이 함수가 단사 함수임을 증명하려면: 모든 실수 $x_1$과 $x_2$일 때 $f(x_1) = f(x_2)$이면 $x_1 = x_2$를 증명

이 때, $x_1$, $x_2$가 어떤 실수 값이라고 가정 ⇒ $7x_1 - 5 = 7x_2 - 5$

$⇒ 7x_1 = 7x_2 ⇒ x_1 = x_2$

 

전사 함수

전사 함수 (surjective function), 반영 함수 (onto function)
함수 $f: A → B$에서 $B$의 모든 원소 $b$에 대하여 $f(a) = b$가 성립되는 $a \in A$가 적어도 하나 존재할 때 함수 $f$를 전사 함수라고 함. 반영 함수라고도 부름.

 

전사 함수인지 증명하기

이 함수가 전사 함수임을 증명하려면: $f(x) = y$를 만족하는 모든 $y \in Y$와 $x \in X$를 만족하는 $x$가 존재함

$⇒ y = 7x-5 ⇒ 7x = y + 5 ⇒ x = {y + 5 \over 7}$, $f(x) = f({y + 5 \over 7}) = 4({y + 5 \over 7}) = (y + 1) - 1 = y$

 

전단사 함수

전단사 함수 (bijective), 일대일 대응 (one-to-one correspondence)
함수 $f: A → B$에서 $f$가 단사 함수인 동시에 전사 함수일 때, 함수 $f$를 전단사 함수라고 함. 일대일 대응이라고도 부름.