역함수 역함수 (inverse function) 함수 $f: A → B$가 전단사 함수일 때 f의 역함수는 $f^{-1}: B → A$로 표기하고 다음과 같이 정의된다. $$\forall a \in A, \forall b \in B, f(a) = b ⇒ f^{-1}(b) = a$$ 합성 함수의 역함수 합성 함수의 역함수 $f: A → B, g : B → C$에 있어서 $f^{-1}, g^{-1}$이 존재하면 $(g \circ f)^{-1}$이 존재하고, $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$이다. 특성 함수 특성 함수 (characteristic function) 전체 집합 $U$의 부분 집합 $A$의 특성 함수 $f_A: U → \{0, 1\}$는 다음과 같이 정의..

합성 함수 합성 함수 (composition function) 두 함수 $f: A → B, g: B → C$에 대하여 두 함수 $f$와 $g$의 합성 함수는 집합 $A$에서 집합 $C$로의 함수 $g \circ f: A → C$를 의미함. 합성함수의 성질 1. 합성 함수의 결합 법칙은 성립하지만, 교환 법칙은 성립하지 않음 ex) $f(x) = 3x, g(x) = 2x + 3$일 때, $(f \circ g)(x) = 6x + 3, (g \circ f)(x) = 6x + 9$ $⇒ (f \circ g)(x) ≠ (g \circ f)(x)$ 2. $f$와 $g$가 단사 함수이면 $g \circ f$도 단사 함수 $f$는 단사 함수이므로 $a_1, a_2 \in A$이고 $a_1 ≠ a_2$일 때, $f(a_..

단사 함수 단사 함수 (injective function), 일대일 함수 (one-to-one function) 함수 $f: A → B$에서 $a_i, a_j \in A$에 대하여 $f(a_i) = f(a_j)$이면 $a_i = a_j$일 경우, 함수 $f$를 단사 함수라고 함. 일대일 함수라고도 부름. 단사 함수인지 증명하기 이 함수가 단사 함수임을 증명하려면: 모든 실수 $x_1$과 $x_2$일 때 $f(x_1) = f(x_2)$이면 $x_1 = x_2$를 증명 이 때, $x_1$, $x_2$가 어떤 실수 값이라고 가정 ⇒ $7x_1 - 5 = 7x_2 - 5$ $⇒ 7x_1 = 7x_2 ⇒ x_1 = x_2$ 전사 함수 전사 함수 (surjective function), 반영 함수 (onto fun..

함수의 정의 함수 (function): 집합 $X$에서 $Y$로의 관계의 부분 집합으로, 집합 $X$에 있는 모든 원소 $x$가 집합 $Y$에 있는 원소 중 오직 하나씩만 대응되는 관계. $X$를 함수 $f$의 정의역(domain)이라 하고, $Y$를 함수 $f$의 공변역(co-domain)이라고 함 $$f: X → Y$$ 함수 $f$의 정의역은 $Dom(f)$라 표시하고, 함수 $f$의 치역(range)는 $Ran(f)$라고 표시합니다. $Dom(f) = \{x \space | \space (x, y) \in f, x \in X, y \in Y\}$ $Ran(f) = \{y \space | \space (x, y) \in f, x \in X, y \in Y\}$

부분 순서 관계 부분 순서 관계 (partially ordered relation): 집합 $A$에 대한 관계 $R$이 반사 관계, 반대칭 관계, 추이 관계인 경우. 또한 $R$이 $A$에 대한 부분 순서 관계이면 순서쌍 ($A, R$)을 부분 순서 집합(partially order set, Poset)이라고 함 전순서 관계 비교 가능 (comparable): 부분 순서 집합 ($A$, $\preceq$)에서 $A$의 원소 $a, b$가 $a \preceq b$ 또는 $b \preceq a$일 때의 $a, b$ 전순서 집합 (totally ordered set): $A$의 모든 원소들이 비교 가능한 집합 전순서 관계 (totally ordered relation): 전순서 집합에서의 부분 순서 관계 곱 ..

동치관계와 분할 동치 관계(equiavlence relation): 관계 $R$에서 반사 관계, 대칭 관계, 추이 관계가 모두 성립할 때 동치류, 동치 클래스(equivalence classes): 집합 $A$에 대한 동치 관계를 $R$이라고 할 때, $A$의 각 원소 $a$에 대하여 $[a]$를 $R$에 대한 $a$의 동치류라 함 $$[x] = \{y \space | \space (x, y) \in R\}$$ 분할(partition): 집합 $A$의 분할에 의해 유도된 관계 $R$은 다음 조건을 만족시킴. (1) $A_i ≠ \phi, 1 ≤ i ≤ n$ (2) $A = \underset{i = 1}{\overset{n}\bigcup}A^i$ (3) $A_i \cap A_j = \phi, i ≠ j..

반사, 대칭, 반대칭, 추이 관계 $R$이 집합 $A$에 있다고 하자. 반사 관계(reflexive relation): 집합 $A$에 있는 모든 원소 $x$에 대해 $_xR_x$일 때 대칭 관계(symmetric relation): 집합 $A$에 있는 모든 원소 $x, y$에 대해 $_xR_y$이고 $_yR_x$일 때 반대칭 관계(anti-symmetric relation): 집합 $A$에 있는 모든 원소 $x, y$에 대해 $_xR_y$이고 $_yR_x$일 때 $x = y$를 만족하는 경우 추이 관계(transitive relation): 집합 $A$에 있는 모든 원소 $x, y, z$에 대해 $_xR_y$이고 $_yR_z$이면 $_xR_z$일 때 추이 클로저 관계 $R$이 집합 $A$에 있다고 하자...