[이산수학] 추론 (argument)

추론 (argument): 주어진 명제가 참인 것을 바탕으로 새로운 명제가 참이 되는 것을 유도해내는 방법.

• 여기서 주어진 명제들인 $p_1, p_2, ..., p_n$을 전제(premise)라 하고, 새로이 유도된 명제 $q$를 결론(conclusion)이라고 합니다.
• 주어진 전제가 참이고 결론도 참인 추론을 유효 추론(valid Argument)이라 하고, 추론이 거짓이면 허위 추론(fallacious argument)이라 합니다. 진리표를 이용하여 전제가 참인 경우 결론이 참인지 거짓인지 봄으로써 구분할 수 있습니다.
• 전제를 $p_1, p_2, ..., p_n$이라 하고 결론을 $q$라 할 때 추론에 대한 것을 식으로 표현하면 $$p_1, p_2, ..., p_n \vdash q $$ 라고 표시합니다.

 

추론 법칙

두 개의 전제와 결론으로 구성된 추론 형식을 삼단 논법이라 부릅니다. 삼단 논법 중 가장 유명한 것이 바로 긍정 법칙(modus ponens)입니다.

 

긍정 법칙 (modus ponens)

$$ p \\ p \to q \\ \therefore q $$

‘Modus Ponens’는 라틴어로 “확인의 방법”이라고 합니다.

모든 전제가 참인 행의 결론이 참이어야 추론이 유효하다(유효 추론; valid argument)고 할 수 있습니다. 실제로 긍정 법칙의 진리표를 그려보면 유효 추론임을 알 수 있습니다.

 

부정 법칙 (modus tollens)

$$ \sim q \\ p \to q \\ \therefore \ \sim q $$

‘modus tollens’는 라틴어로 “부정하는 방법”이라고 합니다. 긍정 법칙이랑 비슷한 것을 알 수 있습니다.

 

조건 삼단 법칙 (hypothetical syllogism)

$$ p \to q \\ q \to r \\ \therefore p \to r $$

수학의 많은 추론들은 ‘if-then’식의 연쇄성을 포함하고 있습니다. 첫 번째 명제와 두 번째 명제가 같고, 두 번째 명제와 세 번째 명제가 같다는 점에서 첫 번째 명제가 세 번째 명제와 같다는 결론을 내릴 수 있습니다.

 

선언 삼단 법칙 (disjunctive dilemma)

$$ p \ \lor \ q \\ \sim p \\ \therefore q $$

$$ p \ \lor \ q \\ \sim q \\ \therefore p $$

두 가지 가능성($p$이거나 $q$)만을 가지고 있고 한 가지 가능성을 배제할 때, 다른 한 가지는 반드시 해당해야 하는 추론이라고 볼 수 있습니다.

 

양도 법칙 (constructive dillema)

양도 법칙에는 단순 구성적 양도 법칙과 복잡 구성적 양도 두 가지가 있습니다.

단순 구성적 양도 법칙 (simple constructive dillema)

$$ (p \to q) \ \land \ (r \to q) \\ p \ \lor \ r \\ \therefore q $$

 

복잡 구성적 양도 법칙 (complex constructive dillema)

$$ (p \to q) \ \land \ (r \to s) \\ p \ \lor \ r \\ \therefore (q \ \lor \ s) $$

 

파괴적 법칙 (destructive dillema)

양도 법칙의 반대입니다.

파괴 법칙에도 단순 구성적 파괴 법칙과 복잡 구성적 파괴 법칙 두 가지가 있습니다.

단순 구성적 파괴 법칙 (simple distructive dillema)

$$ (p \to q) \ \land \ (p \to r) \\ \sim q \ \ \lor \sim r \\ \therefore \ \sim p $$

 

복잡 구성적 파괴 법칙 (complex distructive dillema)

$$ (p \to q) \ \land \ (r \to s) \\ \sim q \ \ \lor \sim s \\ \therefore \ \ \sim p \ \lor \sim r $$

 

선접 법칙 (disjunctive addition)

$p$라는 명제가 참이면, $p$는 그 어떤 명제와 선언 명제로 이루어지든 항상 참이다는 법칙입니다.

$$ p \\ \therefore p \lor q $$

 

분리 법칙 (simplication)

$p$와 $q$ 모두 참이면, p는 그 어떤 명제와 선언 명제로 이루어지든 항상 참이다는 법칙입니다.

$$ p \ \land \ q \\ \therefore p $$

 

연접 법칙 (conjunction)

$$ p \\ q \\ \therefore \ p \ \land \ q $$